紅崎玲央の学習記録 - 趣味の数学ノート別冊

趣味で数学に取り組む学習記録です。

🗒️p.018 - 1階線形微分方程式の分類と解の公式

数検1級 微分方程式

2023/10/29、日曜日。
数学検定1級に向けて取り組んでいます。

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参考書として『やさしく学べる微分方程式』を使って、まずは1〜2章の学習を進めてきました。

微分方程式は学生時代に学んでいなかったので、しっかり学習するのは今回が初めてです。一通り参考書の内容をメモしながら読み進め、その後に「総合練習」の問題にいくつか取り組んでみましたが、僕の中でまだまだ微分方程式のお作法みたいなものが定着していない感覚です。もうちょっと練習が必要だなーと思いました。

ここでは、ここまで学んでみた1階線形微分方程式の分類と解の公式について、整理してみました。

1階線形微分方程式の分類と解の公式

ここで出てくる解の公式、丸暗記するのはしんどいですよね。ここは「積分因子」とよばれる関数の役割と導出方法について抑えておきましょう。

発想としては、与えられた微分方程式を解くために左辺をなんらかの微分形にしておきたい、そうすると結果的にうまく解けるということ。積分因子h(x)は、微分方程式の両辺にかけると、左辺がうまいことyf(x)の微分形になるような関数のひとつであると捉えます。これを意識すると、全部暗記していなくても下のポイント③の形が自然に導けますね。

積分因子そのものはシンプルな不定積分の形なので覚えちゃっても良いですが、導出方法もできれば押さえておきたいところです。

Plans

今週は仕事がピークに入り学習時間がほとんど取れないため、進捗はほぼ無いと想定しています。無理せずいきましょう。

そんな中でも、できる範囲で問題練習をしてみたいです。

どのくらい時間とってできるか正直わからないですが、1日15分、1問ずつくらいはやりたいなあ。

🗒️p.017 - 複素関数の1次&2次過去問にトライ

数検1級 微分方程式

2023/10/22、日曜日。
数学検定1級に向けて取り組んでいます。

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先週は、試しに数検1級の1次試験・2次試験の過去問の中から、複素関数の分野のものを探してやってみました。

あくまで僕がやった範囲ですが、総合すると「あまり複素関数の深いところは出てこないのかな？」という印象です。数検準1級までの複素数平面の内容と、プラスして指数関数・三角関数・双曲線関数の関係を抑えておけば良さそうに思いました（今後必要性が出てきたら、複素数平面上の変換や対数関数なども勉強します）。

以下、1次と2次でそれぞれ抑えるポイントを整理してみました。

複素関数の1次過去問にトライ

1次試験は、過去10回分から6問を解いてみました。2問目で複素関数の問題が登場することが多いようですね。

複素関数の1次対策としては、指数関数・三角関数・双曲線関数の関係式を抑えて自在な変形に慣れることが重要で、これで多くの問題はクリアできそうです。

加えて、複素数の$${n}$$乗の利用について慣れておけば、やや捻られた幅広い問題にも対応できるように思います。たとえば以下のような考え方・イメージを抑えておきたいです。

  • 複素数$${ae^{iz}}$$のn乗は$${ane^{inz}}$$
  • 複素数$${z=e^{2πi/n}}$$は1の$${n}$$乗根

複素関数の2次過去問にトライ

2次試験は、『発見』の過去7回分から1問（第4回の問題2）だけを解いてみました。これ以外に複素関数の問題は見当たらなかったので、2次試験での出題頻度はかなり少ないのかなと思います。

内容としては、与えられた複素数zについての方程式の解が、実数解でかつ解は無限個あることを証明する問題です。複素数範囲の指数関数・三角関数の定義は問題文中に書かれているため、複素関数の知識はあまり必要ない問題だったかなと思います。

僕は20分ほど手を動かして粘ってみたものの、これといって手応えが得られず解けませんでした。証明すべきことがらを分解して整理、立式する力が足りていないものと思います。

まとめると、複素関数の2次対策は特別には必要なく、それよりも他の頻出分野で解答の方針を立てる力を身につける必要があると思いました。

Plans

今週から、新しく微分方程式の分野のインプット学習に入っていきたいと思います。使用する教材はこちら。

目標は、11月いっぱいまでにこの分野のインプット学習を終わらせることです。12月には統計学のインプット学習と問題演習主体のアウトプット学習に切り替えていけたらいいな、というスケジュール感で考えています。

微分方程式は大学時代にちゃんと学んでいないので、楽しみな分野でもあります。一方で計算のパターンを習得するだけだと単調で飽きてしまう懸念もあり、うまくモチベーションを調整しながら学びたいですね。

🗒️p.016 - 消化不良気味な複素関数の学習

数検1級 複素関数

2023/10/15、日曜日。
数学検定1級に向けて取り組んでいます。

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先週は、複素関数のインプット学習を進めてきました。

正直、かなり消化不良を感じています。複素関数分野は数検1級における優先度があまり高くないため、かなりスピードを上げて範囲を終わらせるように進めてみましたが、表面をさっとなぞって理解できるような内容ではないなあと感じました。

とはいえ、今回重視していたのは「期限内に試験範囲を俯瞰する」ことなので、想定範囲内ではあります。追々、もっと複素数平面や実関数を複素関数へ拡張する過程をじっくり学んで、その楽しさを体験したいなと思っています。

複素数平面・複素関数分野の参考動画

参考動画と言いつつ、あまりちゃんと見れていないです。以下は時間を取って視聴したい動画たちです。

まず複素数平面について、高校範囲ですが変換の問題にもうちょっと慣れたいです。基本的な問題について、計算をスラスラと、図形の移動を頭の中で想像しながらできるようになると理想かな。

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次に複素関数については、おなじみのヨビノリさんの「複素関数論」シリーズの動画。こちらでもうちょっと理解を深めたいです。

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Plans

今週は、いったん一次試験の過去問に取り組んでみます。

線形代数（ノートp.004）や微分積分（ノートp.011）のときにやったように、過去問の中から複素関数分野に絞って抜き出してみて、実際の試験でどのような出題のされ方をするのかを確認するのが目的です。

それを見てから、改めて今後の学習方針を決められれば良いなと思っています。

🗒️p.015 - 複素数平面上の方程式・複素関数の導入

数検1級 複素関数

2023/10/08、日曜日。
数学検定1級に向けて取り組んでいます。

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先週は、複素関数のインプット学習を進めました。同時にちょこちょこと問題集も取り組んでみました。

  • 参考書『大学の複素関数』
  • 問題集『合格ナビ 解析・確率統計』
    • 第0章：計算テクニック 1〜4

問題集については、高次方程式や極形式、n乗根といった複素数の計算にもちょうど絡んでくる部分を練習することができました。

以下、複素関数で学んだことをいくつか整理してみました。

複素数平面上の直線と円の方程式

直線や円を表す方程式の表現の仕方には、色々な方法があります。

  • xy座標平面上で表現する：x, yの方程式で表す
  • ベクトルを用いて表現する：ベクトル方程式
  • 複素数平面上で表現する：複素数zの方程式で表す

これらを式変形で自在に行き来できようになるとすごく楽しいなと思いますし、複素数平面を理解するにはこの行き来が大事なところに思います。

ここで「複素数平面上の表現」⇄「xy座標平面上での表現」の式変形をする際に、基礎の計算テクニックとして共役複素数の性質「絶対値の二乗は共役複素数の積$${|z|^2 = z \bar z}$$ 」が良く出てきます。高校数学の範囲の複素数を学んだときはちょっと練習不足を感じていましたが、これを機に慣れていきたいです。

複素関数の導入

実関数の拡張で「複素関数」を考えていきます。実数→実数の対応関係を表すのが実関数で、複素数→複素数の対応関係を表すのが複素関数、と考えると本質的な違いはあまりなさそうです。

ここでは複素関数$${w = f(z)}$$を「ある複素数$${z}$$を他の複素数$${w}$$に移す変換」と捉えて、5つのシンプルな関数がどんな変換を表すのかを学習しました。

Plans

今週も引き続き、複素関数のインプット学習を進めていきます。

理想としては、今週で参考書の2章まで終わらせたいところ…。ですがあまり急ぎすぎると、消化不良になりそうな感じがしています。あまり無理せず、行けるところまで進めていきたいです。

🗒️p.014 - ひきつづき、ゆっくりお休み週間

数検1級

2023/10/01、日曜日。
数学検定1級に向けて取り組んでいます。

Reviews

先週は、引き続き数学の学習について特に決めておりませんでした。仕事やプライベートを優先し、他の趣味に時間を割いたり、新たなチャレンジに対しての準備をして過ごしていました。良い充電期間だったと思います。

そんな中でも、先々週の延長でちょっとだけ2次試験の問題に取り組んでみたり。以前やった問題の解き直しや、微積の問題で理解できていなかった部分を調べたりしていました。

ところで、解答を作るときの国語力ってどうやって身につけられるのでしょうか？いつも書き出しや解答の構成がすぐに作れず、悩んでしまいます。

Plans

今週は、楽しみにしていた新しい分野に入ります。まずは複素関数の範囲から。

教材は、僕にとってお馴染み、石井先生の『大学の複素関数』を使っていきます。微分積分や線形代数でもお世話になったシリーズです。

ひとまず数検1級の試験対策としては、次の範囲に絞って取り組めば良さそうですね。

2週間くらいでこの範囲をさらえるでしょうか？やれる範囲でやっていきたいと思っています。

🗒️p.013 - 学習お休み期間の雑談

数検1級

2023/09/24、日曜日。
数学検定1級に向けて取り組んでいます。

Reviews

先週のノートで書いた通り、今週は少し数学はお休み期間にして、こんな感じのことをやっていました。

書き出してみると色々やっていて、お休みしている感があんまりないですね（汗）。このノートを書くことを意識すると、なんだかんだで数学のことを考えてしまいます。

興味本位で二次試験の問題にトライしてみましたが、面白いですね。まだまだ自力で解けるには程遠いものの、一度インプット学習を終えている分野なので、とりあえず問題を読んで「あれを使えばいいのかな？」「この計算ならできそうだな」というとっかかりは見えます。

まずは初見の問題を30分、調べてOKとしながら方針を立てて解答の下書きを作ってみます。次に15分くらいでノートに自分の解答を作り、その隣のページに模範解答を書き写して見比べる…というようなことをやっていました。このやり方は、今後のアウトプット学習のやり方のベースにしていけそうです。

Plans

今週も引き続き、特に具体的に学習内容は決めずに過ごしたいと思います。仕事とプライベート優先期間です。

🗒️p.012 - 積分・重積分の問題練習

数検1級 微分積分

2023/09/17、日曜日。
数学検定1級に向けて取り組んでいます。

Reviews

今週は、問題集『合格ナビ』を使って、1変数の積分と重積分の計算練習に取り組みました。

重積分はどうにも、途中で間違えてしまい解き切れない問題が多すぎますね。間違える理由としては、積分領域を勘違いしているとか、ヤコビアンをつけ忘れるとか、そもそも1変数の積分で計算ミスしているとか、定数を計算し忘れたり累乗の数字を間違えてしまうとか。どうにも「ケアレスミス」で片付けてはダメなレベルな気がします。

ひとつ環境的な要因として「問題を解く時にあまり集中できていない」というのがあります。

とくにここ最近はあまり時間がとれておらず、15分のスキマ時間や寝る前にタブレットを使って数学の問題を解いています。どうにも「問題をこなす」ということに意識が向いていて、目の前の問題を大切に解く意識が薄れていました。

単なる計算でもこれですので、応用的な問題はまだまだ考える力が身についていないなーと痛感しました。ここまでインプット重視の学習でしたが、この先は「1問1問を大切に解く」「考えることをベースにしたアウトプット重視の学習」に切り替える必要がありそうですね。

そんな中でひとつだけ、重積分の変数変換について学んだことをノートにしました。

重積分：変数変換とヤコビアン

曲座標変換や一般の変数変換において、変換後の微小面積を計算することで、ヤコビアンを導出することができます。ヤコビアンは公式として覚えれば問題を解く分には十分ですが、より深い理解に近づくために、このような導出の流れを掴んでおくと良いなと思います。

一般の座標変換におけるヤコビアンの導出過程で、2変数関数のテイラー展開を使った近似を考えています。ここは雰囲気で流してしまってるので、要復習です。

重積分に関する参考動画

重積分のイメージについて、ヨビノリさんのこのシリーズを参考にさせていただきました。

特に後半の3回目・4回目の動画では、先ほどのノートで触れたヤコビアンの導出を解説してくれています。とてもわかりやすく、繰り返し見てマスターしたいと思います。

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Plans

今週から大体2週間ほど、全体的に学習のペースを落とそうと思っています。

冒頭でも書いた通り、春先からここまで線形代数・微分積分の一周目の学習を続けてきました。このノートを週一で書き始めた7月から今の学習スタイルが身についてきましたが、ここ数週間は生活や仕事との調整が難しくなってきたため、ここで一旦休息を入れたいなと思ったためです。

といっても数学の学習から離れるわけではなく、前々からやりたいと思っていたことをゆるりと消化します。

まず、数検1級に向けた学習方針の確認です。10月に入ったらまた数検に向けた学習を再開したいので、どの教材でどのようなスケジュールで進めるのかを決めておきたいです。未修分野の「複素関数」「微分方程式」「初等代数」そして「統計学」の学習方法と、「微分積分」「線形代数」の2周目の学習方針について、ある程度見当がつけられるとベストです。

もう一つは、読みたい本の消化です。これは数検の学習というよりも、教養のための数学、楽しむための数学といった意味合いですね。読みたい本がいくつかあります。

このあたりを、特にノルマなど決めずにやってみます。

10月に入ってから、また改めて数検1級の具体的な学習を再開していく予定です。それまでの間もこの学習ノートは継続しますので、引き続きよろしくお願いします。