🗒️p.036 - 初等整数論の学び始め - フェルマーの小定理を学ぶ
2024/12/29、日曜日。
趣味の数学学習に取り組んでいます。
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先週に引き続き、原隆 著『手を動かしてまなぶ群論』の1章を進めています。
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今週は、1章5節のフェルマーの小定理とオイラーの定理を学びました。
正直なところ、ほとんど数学学習の時間が取れなかったため、かなり消化不良です。最低限のところだけをまとめておきます。
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フェルマーの小定理
参考にした動画をピックアップします。
フェルマーの小定理の意味と簡単な計算問題、また定理の証明についてまとめられている動画です。さすがヨビノリ先生、興味深くわかりやすい解説です。
定理の別表現が知れたのも良かったですね。この別表現は、もともとの定理から「素数と整数が互いに素である」という条件を外しても成立する合同式ですが、確かめてみるとちゃんと元の定理と同値となっているのが面白いです。
練習問題
今後の学習で活用したい動画や記事を載せておきます。主に数検1級の対策問題で、整数のn乗のあまりに関する問題です。
この手の問題の対策として、今回学んだ「フェルマーの小定理」のほか「二項定理」を利用するものもあるのですね。また、ここで出てくる「オイラーの定理」「ウィルソンの定理」も、余裕が出てきたら身につけておきたいところです。
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ここまで、4週ほどにわたって『手を動かして学ぶ群論』の1章を進めてきました。
整数問題の中の合同式の扱いについて、ちょっと苦手意識がなくなったように思います。最後はかなり消化不良な感じはしますが。
さて、今回の一連の数学学習は一旦ここまでとします。また余裕ができた時に、ふらっと学習内容を書き留めておきたいと思います。
その時は続群論の続きを再開するか、数検1級に向けて統計分野をおさらいするか、はたまた復習として準1級レベルを強化するか…。どれも自分の今のレベルは中途半端で、やりたいことが多々浮かびますね。
それでは、皆様良いお年を。
🗒️p.035 - 初等整数論の学び始め - 1次合同式の計算練習を中心に
2024/12/22、日曜日。
趣味の数学学習に取り組んでいます。
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先週に引き続き、原隆 著『手を動かしてまなぶ群論』の1章を進めています。
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1次合同式の基本的な問題をいくつも解いて、慣れることを目標としました。
結果、基本的な1次合同式の同値変形のやり方は、ある程度習得したかなという感じです。一方で連立1次方程式は、ちょっとまだ感覚が掴めないでいます。
合同式の同値変形に慣れる
参考にした動画をピックアップします。
1次合同式を解く練習をしていく中で、合同式の同値変形がなかなか慣れませんでした。
たとえば、合同式の両辺にどんな場合に掛け算してよくて、割り算して良いのか。なんで突然、係数を減らせたりするの？みたいな。これらは合同式の基本性質に立ち返れば理解はできるのですが、問題を解くために毎回手を止めて考えるのは結構しんどいです。
そういった合同式特有の「数字を減らす」テクニックともいえる感覚を、こちらの動画で練習することができました。
1次不定方程式と合同式の関連
もうひとつ、参考にした動画です。
先々週に学んだ1次不定方程式の整数解を求める問題は、1次合同式に変換して解くこともできます。
動画の中でも言及されていますが、1次不定方程式の一般解を求める方法ってどうにも理解が難しく感じました。そこで、対応する1次合同式に書き直してから考える方がわかりやすかったりします。
もちろん、最終的にはどちらの方法も理解することが重要ですね。方程式と合同式がどう対応しているのか、数式を自由に行き来できるようになると、この分野の解像度がもう少し上がりそうに思いました。
数検1級の問題練習
手持ちの数検の過去問や問題集からこの分野の問題を探して、合同式の基本的な問題を探して解いてみました。
- 数学検定1級 第414回（2023/10/29） 1次試験 第1問
- 数学検定1級出題パターン徹底研究
合同式の同値変形の感覚が掴めると、あまり迷わずするっと解けますね。合同式の問題を解くのがちょっと楽しくなってきました。
案外、今のレベルで解けるんだなという印象でした。検定で出てくる合同式の問題は、そんなに難しくないのでしょうか？
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来週は、1章5節の「フェルマーの小定理とオイラーの定理」を進めていきます。
整数分野でたびたび耳にする定理なので、学ぶのが楽しみです。どこまで深く理解できるかわかりませんが、ここは「概要を説明できる」「問題を解くときに道具として使える」程度には習得したいところです。
来週ここまで学んだら、数学の学習はまた一旦お休みになりそうです。
🗒p.034 - 初等整数論の学び始め - 合同式に触れる
2024/12/15、日曜日。
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今週はどうにもまとめる時間が取れなかったので、さらっとした振り返りとなります。
先週に引き続き、原隆 著『手を動かしてまなぶ群論』の1章を進めています。
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今週は1章3節の合同式の基本性質と、ちょっとだけ4節の1次合同式の導入にも取り組みました。
この合同式、整数を扱うためにはすごく重要で便利な概念のようです。僕は大人になってから少し触れたことがある程度で、どうにもこのジャンルには苦手意識があります。
おぼろげな記憶をたどっても、高校生の頃に合同式を学んだ覚えは全くありません。難関大学の受験のために合同式を習得する人はいるらしいのですが、少なくとも僕は通ってこなかったように記憶しています。
そもそも、学生時代にほとんど整数問題のトレーニングをほとんどしてこなかったなー。
数検1級にも必要な範囲なので、これを機に苦手意識を払拭しておきたいです。
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引き続き、1章4節の「1次合同式と連立1次合同式」を進めていきます。
どうやら計算の練習がメインになりそうです。
🗒p.033 - 初等整数論の学び始め - 割り算と1次不定方程式
2024/12/08、日曜日。
趣味の数学学習に取り組んでいます。
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しばらくぶりの更新となりました。改めて数学を学びたいという想いに駆られて、今回は群論のテキストを手に取りました。
原隆 著『手を動かしてまなぶ 群論』です。
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手を動かして学ぶ群論
参考までに、この書籍の目次は、以下のようになっています。
この第1章では、群論を学ぶ前の準備として整数の基礎事項が解説されています。まずはここから学んでみることにしました。1章の内容は、数学検定1級の範囲とも重なっていますね。
学習まとめ
今週学んだ中からいくつかまとめてみます。1章の1-2節の内容です。
僕の学習の方針として、まずは「知る」「できる」段階から取り組もうと思っています。なので、現時点で難しい証明についてはあまり深追いしていません。定義・定理がもつ意味や、基本的な問題を解く感覚を掴むところを目標としています。
この辺りの考え方は、別ブログでまとめています。
整数の割り算の基本定理
まず最初に出てくるのが、割り算の基本定理です。小学生の頃からやっている、あたりまえの「割り算」「余り」を改めて考えることになります。この、当たり前に使っていた事実は「定義」ではなく「定理」である、というところも大事なところだなと思いました。
割り算の基本定理が証明されたことで、「どんな大きな数の割り算でも商と余りが存在することが必ず存在する」ということが言えるようになります。具体的に計算できないような天文学的なか整数値についても、解の存在が保証されているのです...！
そしてこの割り算の基本定理は、初等整数論で学ぶ約数や倍数、素因数分解、合同式を考える際の土台となっていますね。
ユークリッドの互除法
ユークリッドの互除法は、2つの整数の最大公約数を求めるアルゴリズム といえます。
これは定理を文字式で追うよりも、具体的な数で手を動かして感覚を掴んだほうが良いなと思いました。僕はやり方を完全に忘れていたので、今回改めて計算方法を学べてよかったです。
1次不定方程式の整数解を求める問題
整数計数の方程式の整数解を求める問題を「ディオファントス問題」といい、たとえばフェルマーの最終定理がそのひとつです。ディオファントス問題の中でも、最も基本的な1次不定方程式の整数解をアルゴリズム的に求める方法を学びました。
これも、理屈よりもまず具体例で手を動かすことが重要だなと思いました。解法をまず型として身につけてから、証明を追っかけるほうが良さそうです。
1次不定方程式の整数解を求める手順は、次の通りです。
- 解の存在確認：2係数の最大公約数が右辺を割り切るかどうか検証する
- 特殊解を求める：ユークリッド互除法の逆をたどって等式を作る
- AX=BYの形の方程式をつくる：元の1次不定方程式と、それに特殊解を代入した方程式を片々引き算して整理する
- 一般解を求める：整数の積の等式と整除関係の定理を用いて、任意の整数kを用いた解(x, y)を求める
練習問題を何問か解いて、ようやくこの基本をミスなくできる感覚を得られました。ただ、数学検定の問題なんかだと時間がないので、パズル的要素で特殊解を素早く見つける、一般解を公式化して覚えてしまう...などのテクニックも必要なのでしょうか。
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かなり久しぶりに数学を学ぶと、以前も感じていた「書籍を読み進めても何をいっているのかわからない感覚」が蘇ってきました。
ですが、ちょっとずつ具体例で計算したり、簡単な命題なら手を動かして定義から導いてみたり、なぜこのタイミングでその定理が紹介されるのかといった文脈を整理していくと、少しわかった気になれますね。この「わかった気」はやや危険かもしれませんが、独学ではこれをうまくモチベーションにしていきたいものです。
次週は、1章3節-4節の合同式を学びます。
🗒p.032 - 統計検定2級の直前まとめと受験結果！
2024/03/03、日曜日。
数学検定1級の学習と、統計学の学習に取り組んでいます。
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昨日、統計検定2級を受けてきました。
結果は...なんと、見事合格！
ただし、合格点が60点のところ、僕の点数は61点という奇跡的な結果でした。笑
統計学自体は12月から授業を受けて学んできて基礎的な素地は作れていたものの、検定を受けると決めてしっかり対策に取り組んだのが2週間くらい。正直、準備不足のため運ゲーを乗り越えた感じは否めません。
しかし一方で、しっかり取るところ・捨てるところを取捨選択して学習ができたので、そういうところは結果に結びついた一因なのかなとも思います。
ところで、CBT試験はすぐに点数と合否結果が出るのですね。合格発表が出るまでのドキドキ感は味わえませんが、すぐに気持ちを切り替えて次の勉強に移れるので、これはこれで良いなと思いました。
さて、今日の振り返りでは、検定の直前対策としてまとめたことを整理しておきます。
▼参考
数検2級の直前対策：標本抽出法について
僕がやった過去問範囲では、標本抽出法についての問題がだいたい1問は出てきていました。覚えてしまえばよい分野なので、確実に抑えておきたいです。
「単純無作為抽出」はわかりやすいですね。また、「系統抽出法」は通し番号をつけたのちに等間隔で抽出する方法なので、これも難しくないと思います。
まぎらわしいのが「層化抽出法」「集落抽出法」「二段抽出法」の3つですね。これらの違いを抑えて、間違えないようにしたいところ。
数検2級の直前対策：期待値と分散・共分散
期待値や分散、共分散の公式を使った計算は自在にできるようにしておきたいものです。
いざ問題を解くときに、案外「公式どうだっけ…」と忘れがち。定義と合わせて公式を抑えておきましょう。
分散と共分散の定義や公式は、並べて式の形を見比べると構造が捉えやすいですね。
数検2級の直前対策：推定と検定
推定・検定分野の問題は統計検定2級では頻出とのことで、基本に絞ってひたすら練習しました。
この分野は、まず基本的な推定・検定のやり方流れを抑えておくことが何よりも大切に思いました。問題文からどんな状況・どんなパラメータが与えられているか、そして何を問われているのかを読み取って、図や言葉で整理できることが大前提として必要です。
その上で点数を取るためには、いろんなパターンの推定・検定の問題に触れて、「問題で題材となっている推定・検定で使う統計量はどんな式か」「その統計量が従う分布は何か」を正確に覚えて臨む必要があります。
僕はこのあたり、基本的な流れは掴めたと思うのですが、パターンを全て抑えることまではできませんでした。引き続き勉強していきたい分野です。
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今回の検定試験を受けたことで、自分の理解のあいまいさを痛感したのと同時に、問題を解くのが理解を深めるために良いということを再確認しました。受験して良かったなと思います。
次回は統計検定２級の学習方法の反省をしつつ、今後の数学・統計学の学習プランを整理してみたいと思います。
別ブログ（note）では「社会人の数学の学び方」をテーマにあれこれ書いていますので、良ければそちらもご覧いただけると嬉しいです。
🗒p.031 - 統計検定2級を受けることにしました
2024/02/18、日曜日。
数学検定1級の学習と、統計学の学習に取り組んでいます。
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3/2に、統計検定2級を受けることにしました。
実は受けるべきかどうか、ここ数週間悩んでいたのですが、思い切って申し込んじゃいました。悩んでいた理由は、試験のための勉強をして果たして意味があるのかなあ…なんて、漠然と考えていたためです。
数学の学び方には、大きく「理解中心の学習」と「試験問題を解くための学習」がありますよね。なんとなく僕の中でイメージとして、前者は「大学や社会人の数学の学び方」で、後者は「受験生や資格取得のための数学の学び方」というイメージを持っていました。そして、前者の学び方が出来るほうがいいなーとも思っています。
ただもちろん、この二つの学習方法はきっぱり分けて考えることができません。試験問題を題材として解いていく課程で理解が深まるし、逆に理解してレポートを書いたり自分で説明できるようになることが、試験問題を解く際の土台になります。結局、どっちの学習方法が良いかという二択ではなく、何を目的にしてどう勉強に向き合うかだなあと。
先日、試しに数学検定2級の問題集を買って解いてみたところ、これがなかなか面白い。これまでぼんやりとしか理解できなかったことは問題を前にすると解けないんです。
当たり前のことですが、問題を解く前は「授業を聞いたりごく簡単な例題を解いて概要や手順を知っただけで、わかった気になっていた」だけなんですね。なので、試験問題のように違う角度から聞かれるとお手上げになってしまう。そこに気づけたおかげで、どの領域の考え方が自分に身についていないのか、どこを中心に学び直すと効果的なのか、といったポイントが少しクリアになりました。
やはり検定試験というのはよくできた仕組みで、学習の理解度を図るために便利だなあと実感しました。
それと同時に僕の中で、数学を学ぶ姿勢がまだまだ身についていないことにも気付きましたね。そこは反省しつつ、広い視野で数学の学び方を身につけていきたいなあと思います。
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来週には、今受けている統計の授業も最終日を迎えます。今月中に要点を抑えて、統計学の基礎的な学習には一区切りつけられたら良いなと思っています。
- 赤本の読み直し
- 統計検定2級に向けた問題練習
とくに今週は「推定」の問題に集中して取り組んでいきたいですね。その過程で、確率分布や標本分布の考え方について、解像度を上げていけると良いなと思います。
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別ブログ（note）では「社会人の数学の学び方」をテーマにあれこれ書いていますので、良ければそちらもご覧いただけると嬉しいです。
🗒p.030 - R言語で区間推定をするやり方を学ぶ
2024/02/11、日曜日。
数学検定1級の学習と、統計学の学習に取り組んでいます。
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ここ二週間で取り組んだこと。
- 授業視聴
- 区間推定の概要（赤本11章の範囲）
- t検定の概要（赤本12章の範囲）
- R/R Studioでやさしく学ぶ プログラミングとデータ分析
- 7章：統計処理の基本
- 8章：データ分析の基本
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推測統計の山場、という感じですかね。相変わらず、授業の時には理解できている「つもり」でも、あとから授業の内容を振り返ってもなかなか思い出せなかったりします。
そもそも勉強時間が足りていないのももちろんですが、やはり練習量が圧倒的に足りないのかなーとも思ってしまいます。
ここでは、学んだR言語のスクリプトを多少整理してそのままぺたり。あまり良いアウトプットじゃないなと思いつつも、何も書かないよりは良いかな？
R言語で正規分布を扱う
#正規分布のデータをランダムに得る #rnorm関数：正規分布を元に指定した個数の乱数を生成し、ベクトルとして出力する #rnorm(個数, mean=平均, sd=標準偏差) rnorm(10, 0, 10) rnorm(10, 0, 20) #指定した値の確率密度を得る #dnorm関数：正規分布で、結果が指定した値になる確率密度を求める #drorm(値, mean=平均, sd=標準偏差) dnorm(1, 0, 10) #指定した値の累積確率密度を得る #pnorm関数：正規分布で、指定した値以下が得られる確率密度を得る #pnorm(値, mean=平均, sd=標準偏差) pnorm(1, 0, 10) #指定した確率から値を得る #qnorm関数：正規分布かで、指定した確率以上（以下）になる値はいくつかを調べる。dnormの逆の役割。 #qnorm(確率, mean=平均, sd=標準偏差) qnorm(0.8, 0, 10)
R言語で区間推定を行う
#母平均の区間推定 #母集団が正規分布であることがわかっており、母平均μと母分散σ^2は未知 #標本について、サンプル数n=100、標本平均xar=2.345、標本標準偏差s=0.047 #このとき、母平均を信頼区間90%で区間推定する xbar <- 2.346 s <- 0.047 n <- 100 t <- qt(p=0.95, df=99) xbar - t*s/sqrt(n) #2.338196 xbar + t*s/sqrt(n) #2.353804
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しばらく学習のペースが乱れていたので、ここで戻していきたいなと思っています。
勉強の優先度が下がってきちゃったので、取り組み方を見直し。
— 紅崎玲央 Leo (@leo_koo0130) 2024年2月7日
学習に着手するハードルを低くして、「これができればオッケー」というルールを自分の中に決めようー。
具体的には、以下のようなルールを自分の中で決めて取り組んでいきます。特に、自分の中のハードルを下げて焦らず取り組むのが、一番のポイントかなーと思っています。
- 学習は1日15分〜30分程度でよいので、毎日統計に触れる！
- 統計授業を見る → その範囲の重要項目をまとめる
- 赤本を読む → 感想を本の余白にメモ
- 問題を解く → 手順と要点を余白にメモ
- 更新内容は簡単で良いので、週1回のこのブログ「趣味の数学ノート別冊」の日曜朝更新！
- 締め切りとして、書いたところまでで強引にまとめる
- ボリュームは「少ないかな？」くらいがちょうどよい（3000字程度）
そして今月いっぱいで、統計の授業が一通り終わってしまいます。もう残り期間も少ないですが、終わったときには「授業を通じてこんなことを学んだ！」と言えるような状態になれていればいいな。
別ブログ（note）では「社会人の数学の学び方」をテーマにあれこれ書いていますので、良ければそちらもご覧いただけると嬉しいです。
