🗒️p.006 - 定積分の有名公式 - 紅崎玲央の学習記録

2023/08/06、日曜日。
数学検定1級に向けて取り組んでいます。

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先週は、前述の通り『大学の微分積分』の3章（1変数の積分）を進めていましたが、途中で焦って『合格ナビ』の積分の問題をつまみ食い。復習をするわけでもなく、あの問題、この問題…と行ったり来たり。あまり良くない学習方法をとっていたなと思います。

そんな中でも、できる範囲でアウトプットしようと、定積分の有名公式についてまとめてみました。関数のグラフ描画には「GeoGebra」を使っています。

$${\sinⁿ x}$$, $${\cosⁿ x}$$の定積分の公式です。綺麗な分数の積の形になるのが面白いですね。$${n}$$が偶数か奇数かで、積の最後の値が変わるのに注意です。

グラフを考えると、この定積分は$${\sin² x}$$, $${\cos² x}$$で描画される山の半分の面積を表しています。実際に$${n}$$の値を色々変えてグラフを描画して見てみると、この定積分の意味を視覚的に感じることができます。

sinの10乗のグラフ

sinの11乗のグラフ

余談ですが、「ウォリスの公式」で調べると別の無限積の公式が出てきますね。定積分との関係性も面白そうです。

こちらは$${\sin nx \sin mx}$$と$${\cos nx \cos mx}$$, そして$${\sin nx \cos mx}$$の定積分の公式です。$${-\pi}$$から$${\pi}$$の範囲では、値は$${\pi}$$か$${0}$$のどちらかになるんですね。

これも、グラフを描画してみるとイメージができます。

m=nの時はsinの2乗のグラフになる

m≠nの時は上下にぐねぐねした曲線になる

この公式は、フーリエ級数展開の基礎となっているようです。奥深そうですね。

ちなみに、この公式の導出には積和の公式が登場します。僕はいつも導出に時間がかかってしまうのですが、こちらでまとめられている「1つだけ覚えて微分する」の覚え方が目からウロコでしたね。

この他、ベータ関数・ガンマ関数についてもさらっと出てきますが動機付けができずあまりピンときていません。これは、いずれじっくり学んでおきたい項目です。

今週の学習方針に悩んでいます。方針としては2つあります。

一度立ち止まって、『合格ナビ』で積分の計算練習に取り組む

『大学の微分積分』第4章の「極限」を進める

積分の計算は練習不足が明らかなので、一度立ち止まってやるのがセオリーでしょう。ですが先週失敗した通り、ちゃんと対策を立てて取り組まないと、グダグダになりかねないなーと思っています。

一方で、参考書を進める方針が魅力的です。第4章の「極限」は高校の復習に加えて、新しくロピタルの定理やテイラー展開・マクローリン展開という重要な項目を学べる章になっています。内容的には4章までやっておくとキリが良く、その後に微積の計算練習に戻ってきても良いのかなという気持ちもあります。

ちょっとモチベーションが下がっているのもあり、あまりガッチリとした方針は今の段階では決めずに、興味の赴くままにやってみたい気持ちです。