2023/11/19、日曜日。
数学検定1級に向けて取り組んでいます。
Reviews
先週はヨビノリさんの動画メインで、1階線形微分方程式の解き方を学んできました。書籍だけでは理解できていなかった部分が、だいぶ整理されてきたように感じます。
動画学習
- ヨビノリさんの動画シリーズ『【大学数学】微分方程式入門』 3〜7
問題練習
- 問題集『合格ナビ 解析・確率統計』第6章「微分方程式」の問題2〜5
先週学んだポイントを整理します。
「同次形」と「同次方程式」は違う概念である
微分方程式を学び始めると「同次形」「同次方程式」という二つの用語が出てきますが、これらは多くの初学者が混乱するネーミングだと思います。
どちらも同じ「同次」という言葉が使われていますが、ここでは二つの違う意味で使われていると認識しておきましょう。
①同次形の微分方程式（homogeneous differential equation）
微分方程式$${y'=f(x,y)}$$において、右辺の関数$${f(x, y}$$が$${x, y}$$について零次の同次関数$${f(y/x)}$$である、すなわち$${y' = f(y/x)}$$の形になる微分方程式をいう。ざっくり要約すると、右辺が$${f(y/x)}$$で表せる微分方程式のこと（cf. 同次性、同次式、同次関数）。
②同次線形微分方程式（homogeneous linear differential equation equation）
線微分方程式において、$${y}$$とその微分に関する項を左辺に集めたときに、右辺が$${0}$$である線形微分方程式のことをいう。たとえば1階の同次線形微分方程式は$${y' + f(x)y = 0}$$、2階の同次線形微分方程式は$${y'' + f(x)y' + g(x)y = 0}$$である。ざっくり要約すると、右辺が0になる線形微分方程式のこと（cf. 同次方程式、同次連立一次方程式）。
どちらの「同次」も英語では「homogeneous」のため、訳し方が悪いというわけではなさそうです。何故こんな紛らわしい名前なのでしょうか…？
1階線形微分方程式の解き方パターンまとめ
以前のノート（p.018）で1階線形微分方程式の分類と解の公式についてまとめましたが、その時はまだ解像度が低かったです。改めて、解き方パターンを俯瞰できるようにまとめました。
ベルヌーイの微分方程式
ここまでで、1階線形微分方程式はすべて一般的に解けることがわかっています。では、非線形の場合はどうでしょうか？
非線形の1階微分方程式には一般的な解き方はありませんが、「ベルヌーイの微分方程式」と呼ばれる形であれば、1階線形微分方程式に帰着させて解くことができます（先ほどのまとめノート参照）。
様々な微分方程式の解き方
他にも非常に興味深い微分方程式があります。その例として、「完全微分方程式」と「クレローの微分方程式」というものがヨビノリさんの動画で取り上げられています。後者では特異解と包絡線という概念について触れていますね。
この辺りは一度サラッと流した程度なので、また必要に応じて学び直したいと思います。
Plans
今週は、教科書に戻って次の章、2階以上の線形微分方程式の解き方を学んでいきます。まずは範囲全体を俯瞰したいと思います。
また、今週からは学習時間ももっと取れるはずなので、微分方程式の学習はこれまで通り進めながら、数検対策として微分積分分野の計算練習も取り入れていきたいです（うまく時間のやりくりできるかな…）。
微分方程式の学習
- 教科書『やさしく学べる微分方程式』第3章「線形微分方程式」
数検1級対策の計算練習
- 問題集『合格ナビ 解析・確率統計』第1章「極限」（7項目）
計算練習については、今年いっぱいで合格ナビ2冊分を一周できたらいいな、くらいのスケジュール感で取り組んでいきたいです。やり方は以前のノート（p.009）「基礎問まとめノート作り」で紹介した方法で、ノートを完成させるのを目標に進めていきます。
