2023/11/12、日曜日。
数学検定1級に向けて取り組んでいます。
Reviews
前回から間が空き、2週間分の振り返りとなります。
ここまで学んだ1階線形微分方程式の解き方を定着させるために、いくつか問題の練習と動画学習をしてきました。
- 問題練習
- 動画学習
- ヨビノリさんの動画シリーズ『【大学数学】微分方程式入門』 1〜2
問題練習を繰り返して自分で手を動かして解いてみると、微分方程式の問題はパターンさえ見抜ければ、あとは機械的に解けるのがパズル的で面白いところだなと感じました。一方で、理屈や意味を考えて取り組まないと単調になり、浅い理解になってしまいそうだなあとも。
今週学んだポイントを整理します。
微分方程式の分野を学ぶ心構え
ちょっと大げさな見出しですが、微分方程式の分野を学ぶための心構えを整えておくことが重要だなと思いました。参考はこちらのヨビノリさんの動画。
まず、微分方程式の意味について。そもそも「方程式を解く」ことと「微分方程式を解く」ことの違いを整理すると、次のようになります。
「方程式を解く」とは、未知数を求めること（例：方程式$${x2+2x+1 = 0}$$の解は$${x = -1}$$）
「微分方程式を解く」とは、未知の関数を求めること（例：微分方程式$${y' = y}$$の解は関数$${y = ex+C}$$（$${C}$$は任意定数））
微分方程式を解いて求めるものは関数だという認識がまずは重要です。
そしてもう一つは、微分方程式が現実でどのように使われているのかということ。その全体像を整理すると、次のようになります。
このうち、僕らが学ぶのは2番目の計算方法の部分なんですね。難しい微分方程式を解けることがエラい訳では決してなく、それらを作った過去の偉人たちの功績に敬意を持ちながら微分方程式を解くことが、この分野を楽しく学ぶ心構えになるのかなと思いました。
これらの視点はなかなか、他の教材では触れられていないことだと思います。さすがヨビノリさん。
微分方程式を解く際のゼロ除算に注意
参考書として使っている『やさしく学べる微分方程式』だけでは、問題の解説が大きく省かれていたりしてあまりよくわからない部分が正直ありました。
特に気になったのは、微分方程式を解く際のゼロ除算について。これについてもヨビノリさんの動画で痒いところまで掻いてくれていました。
変数分離形の微分方程式$${\frac{dy}{dx} = f(x) g(y)}$$を解くときに、まずは両辺を$${g(y)}$$で割ることになります。この時に$${g(y) ≠ 0}$$である必要があるのですが、この割り算を機械的にやっちゃうのがなんか気持ち悪いなあと思っていました。
結局、この内容は完璧に理解するのは難しいので、いったん計算手順の型を身につけちゃったのちに精査するのが良いんだろうと思います。僕も動画を1回見ただけだと理解しきれていません。とりあえずポイントとして「$${g(y)=0}$$（$${g(y)}$$が恒等的に$${0}$$である定数関数）のケースのみ考慮すれば良いんだ」くらいの気持ちで進めてみます。
Plans
今週は先に進むというよりも、ここまでの内容をじっくり定着させるような学習をしたいと思います。今週はヨビノリさんの動画メインで、加えて教科書で触れていない題材にも触れてみます。
数検1級では「ベルヌーイの微分方程式」も過去に出題されたことがあるとの情報があったので、しっかり取り組んでみます。
