2023/08/27、日曜日。
数学検定1級に向けて取り組んでいます。
Reviews
先週は、『合格ナビ』を使って1変数関数・2変数関数の微分の問題練習を進めてきました。
偏微分の問題がちょっと辛かったですね。先々週に、参考書として使っている『大学の微分積分』で知識のインプットとイメージを学んだものの、それが実際に問題として出されると解き方がさっぱりわからないんです。知識が有機的に結びついていないと感じました。やはり数学は、付け焼き刃的に学習してもダメですね。
問題の解き方を習得していくうちに、2変数関数の微分も、考え方の本質は1変数関数と同じだということがわかってきました。対比しながらいくつか問題の解き方を整理してみます。
微分：関数の極限を求める問題
1変数関数の場合、 極限をとるときに右側から近づくか左側から近づくかという数直線上の方向を考えることがありましたね。これが2変数関数の場合だと、座標平面上のどの方向から1点に近づくのかを考える必要が出てくるのです。そこで、2変数$${x, y}$$を極座標表示$${x=rsin(θ), y=rcos(θ)}$$で考えることで、「いろんな$${θ}$$の値をとりながら半径$${r}$$を0に近づけていく」と、極限を定式化して考えることができます。
微分：関数の極大値・極小値を求める問題
極値（極大値・極小値）を求める問題は、1変数関数の場合も2変数関数の場合も、基本は「①極値の候補となる点（停留点）を求めて」「②その点の周りでの関数の増減を調べる」という二つの手順に分解できそうです。①の段階では1階導関数、②の段階では2階導関数が活躍します。ただし、微分不可能な点を考える際には、極値の定義に立ち返って関数の振る舞いを調べる必要がありそうです。
Plans
今週で、微分積分の学習に入ってから6週目に入ります。事前の想定では、そろそろ2変数の積分の範囲に入っている時期くらいに考えていました。
ところが先週の問題練習を通して、2変数の微分の範囲が思いのほか理解できていないことがわかりました。問題をカンペキに解けるところまでは今の段階では目指していませんが、せめて重要な定義・定理を整理して、解き方を思い出すためのフックを掴んでおければ、次の周回で学ぶ時にラクになりそうです。
そんな訳でちょっと足踏みはしますが、また今週も2変数関数の微分の問題練習に取り組みたいと思います。とくに陰関数の微分や極値を求める問題、接平面を求める問題について整理しておきたい気持ちです。その上でもし余裕があれば、2変数の積分にも入っていきたいですね。
